Factorización

 

"Es una expresión algebraica donde se hallan dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta. Un factor es cada uno de los números que se multiplican para formar un producto. Es decir identificar un factor que se repita en ambas expresiones"(lucia hernandez,2017)

Caso I - Factor común

Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. También se puede describir como buscar el factor común entre los factores.

a + ab = a (a + b)

Factor común trinomio :

ab + ac + ad = a (b + c + d)

Caso II

Factor Común Por Agrupación

Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.

Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios. Ejemplo:

Agrupo los términos que tienen un factor común:

(2ax - ay + 5a) + (2bx - by + 5b)

Saco el factor común de cada grupo:

a (2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )

Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:

(2x -y +5) (a + b)

Caso III

Trinomio Cuadrado Perfecto

Es igual al cuadrado de un binomio. Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados. Ejemplos:

4x² – 20xy + 25y²= (2x – 5y) (2x – 5y) = (2x – 5y)²

9b² – 30a²b + 25a4 = (3b – 5a²) (3b – 5a²) = (3b – 5a²)

16 + 40x² + 25x4 = (4 + 5x²) (4 + 5x²) = (4 + 5x²)²

a² +2ab + b²= (a+b)²

Caso IV

Diferencia De Cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces. Ejemplo:

9y²-4x² = (3y-2x) (3y+2x)

CASO ESPECIAL

La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las diferencias de cuadrado en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas.

Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a + b)2 es (a + b) La raíz cuadrada de c2 es c

Multiplica la suma de las raíces, (a + b + c) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del Sustraendo     (a + b - c)

4x² - (x + y)²

4x² - (x + y)² = [2x + (x + y)] [2x - (x + y)]

4x² - (x + y)² = [2x + x + y] [2x - x - y]

4x² - (x + y)² = [3x + y] [x - y]

Caso V

Trinomio Cuadrado Perfecto Por Adición Y Sustracción

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados. Ejemplo:

4a4 + 8a² b² + 9b4

+ 4a² b² - 4a² b²

4a4 +12a²b² + 9b4- 4a²b² = (4a4 + 12a² b² + 9b4) - 4a²b²

(4a4 + 12a² b² + 9b4) - 4a² b²

(2a² + 3b²)² - 4a² b²

(2a² + 3b²)² - 4a² b² = [(2a² + 3b²) + 2ab] [(2a² + 3b²) - 2ab]

(2a² + 3b²)² - 4a² b² = [2a² + 3b² + 2ab] [2a² + 3b² - 2ab]

4a4 + 8a² b² + 9b4= [2a² + 2ab + 3b²] [2a² – 2ab + 3b²]

Caso VI

 Trinomio De La Forma x2 + bx + c

x² + 5x + 6

a² + 2a + 15

Trinomios de la forma x2 + bx + c son trinomios como

Que cumplen las condiciones siguientes:

• El coeficiente del primer término es 1.

•  El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

•  El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

•  El tercer termino es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo termino y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. Ejemplo:

x² + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)

Caso VII

Trinomio De La Forma ax2 + bx+ c

ax² + bx + c

Condiciones que debe cumplir un trinomio de la forma

El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.

El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.

El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1 y 2 términos. Ejemplo:

6(6x² -7x +3) =36x² -6(7x) -18

1) Se multiplica el coeficiente del primer término” 6” por todo el trinomio, dejando el producto del 2 término indicado:

2) Se ordena tomando en cuenta que , escribiéndolo de la siguiente manera:

36x2 = (6x)2 y 6(-7x) = -7(6x)

Rivas, V. (2016) casos de factorizacion:https://prezi.com/hjz9s5zykwwd/casos-de-factorizacion/